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无需存款注册秒送100元|曾令人类放弃思考,使数学两度陷入危机,至今依旧未解

匿名 发布时间: 2020-01-11 16:12:48

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无需存款注册秒送100元,一个无穷大和另一个无穷大,到底谁比较大呢?

今天超模君在后台看留言的时候,看到有模友留下了这么一条留言:

超模君可以郑重地告诉这位模友:恭喜你!你被翻牌……哦不,你的愿望实现了!

不过超模君并不打算只讲实无穷,而是来讲讲“无穷”这个概念的前世今生……

“无穷”(infinity)的概念,最早是以哲学概念的形式进入人们的视野当中的。古希腊学者阿那克西曼德在研究世界的本源时指出:

“万物的本原是无限者,因为一切都生自无限者。因此有无穷个世界连续地生自本原,又灭入本原。”

他还给出了“本原是无限的”的证明:

因为那化生一切的应当什么都不缺乏。……任何东西,如果不是本原,就是来自本原;然而无限者没有本原,因为说无限者有本原就等于说它有限。它作为本原,是不生不灭的。凡是产生出来的东西,都要达到一个终点,然而有终点就是有限。所以无限者没有本原,它本身就是别的东西的本原,包罗一切,支配一切。

阿那克西曼德(约bc610—bc545)

而“无穷”进入数学领域,则是公元前4世纪的事了。将“无穷”概念带入数学领域的人是德谟克利特(bc460—bc370),各位模友一定会对他的观点非常熟悉:

一切事物都是由原子和虚空构成的,原子在大小和数量上都是无穷的,且不可再分。

他把各种几何形体的面积和体积都理解为原子的排列和原子层的堆叠,并用这个方法求得了锥体的体积。

在德谟克利特之后,大学者柏拉图和亚里士多德都曾对“无穷”作过研究,而且两个人的研究都达到了相当深入的程度。

柏拉图对于“无穷”的认识是:无穷存在本体论上的实在性,是一个确切的实体。

亚里士多德则是:无穷只是一种潜在的存在,不是一种实在的存在。

本来古希腊的学者们可以更加深入地研究关于“无穷”的知识,但是一个学者却突然跳出来“搞事情”,让这个古希腊对“无穷”失去了兴趣。

他就是芝诺,他搞出的事情,是著名的芝诺悖论。

芝诺:不是我想搞事情,我也没想过会变成这样的……

芝诺提出的四个悖论中,都涉及到了“无穷”。譬如最著名的“乌龟”悖论中,通过将运动过程无穷细分,得出了“阿基里斯追不上乌龟”的结论。这个结论违反了人们的日常直观认识,但在推理过程上又“无懈可击”,让很多古希腊学者陷入了长时间的疑惑不解当中……

也许是感到问题的棘手,在芝诺提出这几个悖论之后,古希腊的学者们就停止了对无穷的研究……是的,他们停止了研究……

直到15世纪,随着开普勒成功地用无穷小量分析方法求得了一些曲面体的体积,“无穷”才重新回到学者们的视野中。

接下来就是牛顿和莱布尼茨的微积分理论了。可以说,“无穷小”在文艺复兴时期是大放异彩,但也迎来了第二次质疑:无穷小到底是不是0?(这部分之前的文章有讲过,所以就不赘述了)

尽管后来柯西和威尔斯特拉斯给微积分树立了一个牢固的理论基础(“极限”的算术定义与极限理论),解决了“无穷小是不是0”的问题,但是康托尔的“无穷集”理论,将另一个问题带入了人们的视野:无穷与无穷之间,是否存在“多少”的问题?

康托尔:惊不惊喜,意不意外?!

按照康托尔的想法,无穷与无穷之间,确实存在“多少”的关系。他以“一一对应”为原则,将能对应的两个集合称为“同势”,然后利用“势”来对无限集进行分类。

比如说,康托尔认为最小的无穷集是自然数集(n),实数集(r)的“势”比自然数集的“势”要大,而一切实函数的“势”又比实数集的“势”要大……也就是说,对于一个无穷集,总会有一个比它元素要多的无穷集。

康托尔还认为,这些无穷集本身又可以集合为一个无穷序列,其中的无穷集按照“势”的大小来排序。这就是著名的“超越数”理论。

超越数理论的提出,让整个数学界都为之振奋,因为很多理论都能在这里找到基础。1900年著名的数学家庞加莱兴奋地宣布:“现在我们可以说,数学的严格性基础已经确立。”

可是,就好像芝诺的出现一样,有一位学者又站出来指出了超越数理论的漏洞……

他就是获得诺贝尔文学奖最多的数学家——罗素。

罗素是这样指出康托尔的漏洞的:他构造了一个集合u,u由所有不属于自身的集合组成,u显然存在,但u是否属于自身呢?

无论怎么回答,罗素提出的这个问题都会产生悖论,这让所有认为数学已经“天衣无缝”的数学家们慌了手脚。虽然在1908年策梅洛提出了公理化的集合论之后,使康托尔的“无穷集”理论成功地避开了罗素的悖论,但是对于“无穷”研究,依然扑朔迷离。

纵观整个“无穷”的发展史,人们对于“无穷”的理解,是在两中思想——“潜无穷”与“实无穷”之间——摇摆的。

所谓“潜无穷”,就是指把无穷看做一种不断在变化发展的东西,就好比一条直线,直线上的点有无穷多个,并且直线是在不断延伸变化的。

所谓“实无穷”,就是指把无穷的整体作为一个现成的单位,是已经构造完成了的东西。就好比一条线段,线段上的点是无穷的,但是线段本身却是一个现成的单位。

亚里士多德的思想、柯西和威尔斯特拉斯的“极限理论”,都是一种“潜无穷”思想的体现,“无穷”在他们眼里,是一个永远没有终点的过程,不能够作为一个整体来把握。

而德谟克利特的“原子论”、柏拉图对无穷的认识,以至于后来的康托尔集,则是一种“实无穷”思想的体现,“无穷”在他们眼里,是一个可以把握的整体。

那么问题来了:到底数学上的“无穷”,应该是哪一种“无穷”呢?

超模君认为,现在根本无法判断哪一种“无穷”才是正确的,因为两种“无穷”都存在各自的问题:

就“潜无穷”而言,由于是“无限接近”,因此“无限大”和“无限小”不能够作为一个数来进行运算。而数学是一门以“定量”分析为基本要求的学科,一个概念如果不能够进行定量分析,那么显然是不适应数学的发展的。

就“实无穷”而言,虽然其满足了数学有关“定量”分析的要求,却有一些基本的问题没有解决。比如说,“实无穷”并没有明确定义“无穷”的概念,而是依靠最直观的“无穷”的定义。这样会导致在讨论两个无穷集a、b之间的大小时,会出现a、b既有大小之分(如康托尔理论中的自然数集和实数集);又没有大小之分(因为a、b里面的元素均为无穷,可一一对应)的悖论。

不过不管最后人类对于“无穷”认识的后续发展如何,对于普通的我们而言,认识到一点就足够了:

钱包是无穷小的,房价是无穷大的;可以用来玩的时间是无穷短的,工作的时间是无穷长的。

本文由超级数学建模整理编辑

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